Wiemy już, co to średnia arytmetyczna i co to średnia trymowana. Poszperajmy więc dalej wśród miar tendencji centralnej (czyli takich, które określają położenie wartości centralnych, średnich, przeciętnych). Ale chwilowo przerwa ze średnimi. Dzisiaj na swoje pięć minut czeka mediana.

Medianę można inaczej nazwać wartością środkową, wartością przeciętną albo drugim kwantylem czy kwartylem rzędu 1/2. Liczy się ją dość łatwo, choć wymaga, żeby uszeregować nasze zaobserwowane wartości od najmniejszej do największej. Jeśli jest ich nieparzysta liczba, to wybieramy wartość środkową. Jeśli jest parzysta liczba, to musimy wyliczyć średnią arytmetyczną z dwóch środkowych liczb.

\( \text{Me}=\begin{cases} X_{\frac{n+1}{2}} & \text{n nieparzyste}\\ \frac{1}{2}\left(X_{\frac{n}{2}}+X_{\frac{n}{2}+1}\right) & \text{n parzyste} \end{cases} \)
Przykłady
Wzór wygląda przerażająco, ale tak często bywa ze wzorami. Najprościej zrozumieć na przykładzie:

Mam piątkę dzieci. Ich wiek to odpowiednio: 2 lata, 4 lata, 5 lat, 7 lat i 13 lat. Jaka jest mediana wieku? Ponieważ mam 5 obserwacji (nieparzysta liczba), to muszę wziąć wartość środkową – mediana wieku wynosi 5 lat.

Jeśli bym miała tylko czwórkę dzieci (parzysta liczba) w wieku 4 lata, 5 lat, 7 lat i 13 lat, to wtedy jedna wartość środkowa nie istnieje. W związku z tym medianę liczę jako średnią z dwóch środkowych liczb. W tym przykładzie jest to 5 i 7 lat. Średnia arytmetyczna z tych dwóch liczb to 6 i tyle właśnie wynosi mediana wieku.

Można też powiedzieć, że mediana, to jest taka ekstremalna średnia trymowana. Jeśli przy obliczeniach utniemy tyle wartości mniejszych i większych, że zostałaby nam tylko wartość środkowa, to się okazuje, że znaleźliśmy właśnie naszą medianę.

Przykład średniego wynagrodzenia

I po raz kolejny wróćmy do naszego przykładu ze średnim wynagrodzeniem:

1. „Wszystkim Równo” – zatrudnia 10 pracowników, z których każdy dostaje co miesiąc 5000 zł.
2. „Szefo Górą” – zatrudnia panią sprzątaczkę, która na umowę zlecenie otrzymuje 500 zł, do tego 8 szeregowych pracowników z pensją 1500 zł i kierownika, który co miesiąc na konto przyjmuje 37500 zł.
3. „Byle do Awansu” – mamy tu również 10 pracowników – pięciu pracuje poniżej roku i otrzymują 3000 zł, druga piątka ma już dłuższy staż i dzięki temu doczekała się pensji po 7000 zł.
4. „Wielka Niewiadoma” – dziesięciu pracowników, każdy z inną pensją, od 1000 do 9000 zł.

Identycznie jak w przykładzie ze średnią trymowaną, otrzymujemy kolejno następujące wyniki: 5000 zł, 1500 zł, 5000 zł oraz 5000 zł. Czyli tylko w przypadku sytuacji, kiedy zarobki szefa znacznie przewyższały wszystkie pozostałe, mediana różniła się od średniej arytmetycznej. W pozostałych przypadkach wartości środkowe oscylują koło 5000 zł i okazuje się, że mediana jest równa średniej.

Zalety mediany

Zastanówmy się, jakie są zalety mediany w stosunku do klasycznej średniej arytmetycznej.

1. Mediana jest niezależna od wartości skrajnych (warto dodać, że tak bardzo niezależna, że niekiedy aż staje się to wadą, kiedy tych wartości skrajnych jest dużo i są one znaczące – stąd też pośrednie rozwiązania, jak opisywana ostatnio średnia trymowana).
2. Medianę możemy zastosować również dla zmiennych o charakterze porządkowym. Zajrzyjmy np. do szuflady. Mamy tam 7 koszulek. Ich rozmiary to S, M, M, M, M, L, XL. Średniej z tego nie wyliczymy, a medianę – proszę bardzo (M jak nic).
3. Medianę można często wyliczyć w sytuacji, kiedy nie znamy dokładnie wszystkich wartości. Na przykład chcemy wiedzieć, ile przeciętnie rodzeństwa mają dzieci w przedszkolu (a ankieta do jednego worka wrzucała wszystkie wartości powyżej 3). Załóżmy, że odpowiedzi są następujące: 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, >3, >3. Ponieważ dwie odpowiedzi są “więcej niż 3”, to trudno obliczyć średnią arytmetyczną, gdyż nie wiadomo, czy podstawić 4, 5, 6, a może 10. Za to medianę bez problemu można znaleźć – wynosi ona 1.

Gdzie wykorzystuje się medianę

Zalety mediany (przedstawione powyżej) pokazują, kiedy warto używać właśnie tej miary.

Medianę stosuje się bardzo często równolegle ze średnią arytmetyczną – warto zwracać uwagę na różnice między tymi dwoma wartościami i za każdym razem zastanowić się, z czego one wynikają.

I jeszcze jedno. Co prawda absolutnie się nie znam na grafice komputerowej i cyfrowym przetwarzaniu sygnałów, ale doczytałam, że właśnie tam jest używana mediana w celu odszumiania. Na obrazie zachowuje ona ostre krawędzie przy jednoczesnym usunięciu szumów. Brzmi to skomplikowanie, ale przynajmniej wiemy, gdzie w praktyce wykorzystuje się medianę.

---

Droga Czytelniczko! Drogi Czytelniku!

Dziękuję, że przeczytałaś/przeczytałeś mój artykuł. Mam nadzieję, że spełnił Twoje oczekiwania. Jeśli chcesz się podzielić swoimi przemyśleniami, to napisz do mnie na adres [email protected] albo znajdź mnie na Facebooku: https://www.facebook.com/statystycznypl/.

Zapraszam Cię również do zapoznania się ze spisem treści (staram się go aktualizować, choć nie zawsze to wychodzi) – jeśli lubisz statystykę, to na pewno znajdziesz coś do poczytania.

A jeśli w ramach podziękowania za ten wpis zechcesz zaprosić mnie na przysłowiową “wirtualną kawę”, to będę niezwykle zobowiązana. Co prawda kawy raczej nie pijam, ale kubek dobrej herbaty – z prawdziwą przyjemnością. A ponieważ w każdy artykuł wsadzam mnóstwo serducha i swojego wysiłku, to tym bardziej poczuję się doceniona.

Pozdrawiam Cię cieplutko i życzę miłego dnia!

Krystyna Piątkowska